So sánh Phân Phối Chuẩn và Phân Phối Poisson

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về hai phân phối quan trọng trong xác suất thống kê: Phân Phối Chuẩn (Gaussian) và Phân Phối Poisson. Chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa, công thức, ứng dụng, cũng như so sánh giữa hai phân phối này thông qua ví dụ và đồ thị minh họa.

1. Phân Phối Chuẩn (Gaussian)

1.1. Định nghĩa

Phân phối chuẩn, hay còn gọi là phân phối Gaussian, là một phân phối xác suất liên tục có hình dạng hình chuông đối xứng quanh giá trị trung bình \( \mu \). Phân phối này được đặc trưng bởi hai tham số: giá trị trung bình \( \mu \) và độ lệch chuẩn \( \sigma \).

1.2. Hàm mật độ xác suất (PDF)

$$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $$

1.3. Đồ thị minh họa

1.4. Ứng dụng

Phân phối chuẩn được sử dụng rộng rãi trong thống kê và khoa học vì nhiều hiện tượng tự nhiên và xã hội tuân theo phân phối này, chẳng hạn như:

1.5. Ví dụ

Bài toán: Chiều cao của nam sinh trong một trường trung học được phân phối chuẩn với giá trị trung bình \( \mu = 170 \) cm và độ lệch chuẩn \( \sigma = 5 \) cm. Tính xác suất để một nam sinh có chiều cao từ 165 cm đến 175 cm.

Lời giải:

  1. Chuẩn hóa các giá trị về phân phối chuẩn tắc \( Z \):
    $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$ $$ Z_1 = \frac{165 - 170}{5} = -1 $$ $$ Z_2 = \frac{175 - 170}{5} = 1 $$
  2. Tra bảng phân phối chuẩn tắc:
    $$ P(Z \leq 1) = 0.8413 $$ $$ P(Z \leq -1) = 0.1587 $$
  3. Tính xác suất:
    $$ P(165 \leq X \leq 175) = P(Z \leq 1) - P(Z \leq -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 $$

Kết luận: Có khoảng 68.26% nam sinh có chiều cao từ 165 cm đến 175 cm.

2. Phân Phối Poisson

2.1. Định nghĩa

Phân phối Poisson là một phân phối xác suất rời rạc, mô tả số lần xảy ra của một sự kiện trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định, với tần suất trung bình \( \lambda \). Sự kiện xảy ra độc lập và ngẫu nhiên.

2.2. Hàm xác suất

$$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$

Trong đó:

2.3. Đồ thị minh họa

2.4. Ứng dụng

Phân phối Poisson thường được sử dụng trong các trường hợp đếm số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian, ví dụ:

2.5. Ví dụ

Bài toán: Một trung tâm dịch vụ khách hàng nhận trung bình \( \lambda = 5 \) cuộc gọi mỗi phút. Tính xác suất để trong một phút bất kỳ, trung tâm nhận được đúng 3 cuộc gọi.

Lời giải:

  1. Áp dụng công thức phân phối Poisson:
    $$ P(X = 3) = \frac{5^3 e^{-5}}{3!} $$
  2. Tính toán:
    $$ 5^3 = 125 $$ $$ e^{-5} = 0.006738 $$ $$ 3! = 6 $$ $$ P(X = 3) = \frac{125 \times 0.006738}{6} \approx 0.140374 $$

Kết luận: Xác suất để nhận đúng 3 cuộc gọi trong một phút là khoảng 14.04%.

3. So Sánh Phân Phối Chuẩn và Phân Phối Poisson

3.1. Bảng So Sánh

Đặc điểm Phân Phối Chuẩn Phân Phối Poisson
Loại phân phối Liên tục Rời rạc
Tham số Giá trị trung bình \( \mu \), độ lệch chuẩn \( \sigma \) Tần suất trung bình \( \lambda \)
Ứng dụng Các hiện tượng tự nhiên liên tục, lỗi đo lường Đếm số sự kiện trong khoảng thời gian/không gian
Hàm xác suất Hàm mật độ xác suất (PDF) Hàm xác suất rời rạc
Đồ thị Đường cong liên tục hình chuông Các cột rời rạc
Ví dụ Chiều cao, cân nặng, điểm số Số cuộc gọi, số tai nạn, số hạt phân rã

3.2. Khi Nào Sử Dụng

Phân Phối Chuẩn: Sử dụng khi biến ngẫu nhiên là liên tục và dữ liệu tập trung quanh giá trị trung bình, thường trong các hiện tượng tự nhiên và xã hội.

Phân Phối Poisson: Sử dụng khi đếm số lần xảy ra của một sự kiện rời rạc trong một khoảng thời gian hoặc không gian cố định, đặc biệt khi tần suất xảy ra sự kiện là nhỏ.

4. Kết Luận

Hiểu rõ sự khác biệt giữa phân phối chuẩn và phân phối Poisson giúp chúng ta lựa chọn mô hình thống kê phù hợp cho từng loại dữ liệu và bài toán cụ thể. Phân phối chuẩn phù hợp với các biến liên tục và dữ liệu có xu hướng tập trung, trong khi phân phối Poisson phù hợp với việc đếm số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian hoặc không gian.