Mô hình đi bộ ngẫu nhiên một chiều mô tả quá trình một đối tượng (như robot) di chuyển trên trục số. Tại mỗi bước, đối tượng có thể di chuyển sang phải hoặc trái với xác suất xác định. Đây là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, tài chính, sinh học và khoa học máy tính.
Mô hình đi bộ ngẫu nhiên hai chiều mở rộng từ mô hình một chiều bằng cách cho phép đối tượng di chuyển trong hai hướng ngang và dọc trên một lưới m×n ô vuông. Tại mỗi bước, đối tượng có thể di chuyển lên, xuống, trái hoặc phải với các xác suất xác định. Mô hình này phức tạp hơn và có ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, sinh học (di chuyển của tế bào), và khoa học máy tính (thuật toán tìm đường).
Phân phối nhị thức mô tả số lần thành công trong một số lần thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có hai kết quả có thể xảy ra (thành công hoặc thất bại) với xác suất thành công là \( p \).
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]
Trong đó:
Phân phối đa nhị thức là sự mở rộng của phân phối nhị thức, mô tả số lần xảy ra mỗi kết quả trong một số lần thử nghiệm với nhiều hơn hai kết quả có thể xảy ra. Trong mô hình đi bộ ngẫu nhiên hai chiều, phân phối này được sử dụng để tính xác suất đối tượng di chuyển theo các hướng khác nhau.
Trên trục tọa độ \( x'Ox \), một con robot đồ chơi có vị trí tại điểm \( O \). Robot bước đi ngẫu nhiên trên trục \( x'Ox \) về bên phải hoặc bên trái với xác suất bằng nhau, mỗi bước đi nó thực hiện được quãng đường là một đơn vị độ dài. Tính xác suất để sau đúng 18 bước đi con robot có vị trí là điểm \( B \) trên tia \( Ox \), điểm \( B \) cách gốc tọa độ 10 đơn vị độ dài.
Gọi:
Ta có:
\[ \begin{cases} R + L = 18 \\ R - L = 10 \end{cases} \]
Giải hệ phương trình trên để tìm giá trị của \( R \) và \( L \).
Tổng hợp hai phương trình:
\[ (R + L) + (R - L) = 18 + 10 \implies 2R = 28 \implies R = 14 \]
Thay giá trị \( R = 14 \) vào phương trình thứ nhất:
\[ L = 18 - R = 18 - 14 = 4 \]
Vậy, \( R = 14 \) và \( L = 4 \).
Robot cần đi 14 bước về bên phải và 4 bước về bên trái. Xác suất xảy ra điều này được tính bằng công thức tổ hợp nhân với xác suất của mỗi chuỗi sự kiện:
\[ P = \binom{18}{14} \left( \frac{1}{2} \right)^{14} \left( \frac{1}{2} \right)^{4} = \binom{18}{14} \left( \frac{1}{2} \right)^{18} \]
Trong đó:
Ta tính giá trị:
\[ \binom{18}{14} = \binom{18}{4} = \frac{18!}{4! \times 14!} = 3060 \]
\[ P = 3060 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{18} \approx 0.0117 \quad \text{hay} \quad 1.17\% \]
Kết Luận: Xác suất để sau đúng 18 bước đi, con robot có vị trí là điểm \( B \) là 1.17%.
Trên lưới \( m \times n \) ô vuông, một con robot bắt đầu từ gốc tọa độ \( O \). Tại mỗi bước, robot có thể di chuyển lên, xuống, trái hoặc phải với xác suất bằng nhau, mỗi bước đi nó thực hiện được quãng đường là một đơn vị độ dài. Tính xác suất để sau đúng \( k \) bước đi, con robot có vị trí là điểm \( B(x, y) \), trong đó \( x \) là khoảng cách theo trục \( Ox \) và \( y \) là khoảng cách theo trục \( Oy \) từ gốc tọa độ.
Gọi:
Ta có:
\[ \begin{cases} U + D + R + L = k \\ R - L = x \\ U - D = y \end{cases} \]
Giải hệ phương trình trên để tìm giá trị của \( U \), \( D \), \( R \), và \( L \).
Tổng hợp các phương trình:
\[ \begin{cases} U + D + R + L = k \\ R - L = x \\ U - D = y \end{cases} \]
Giải phương trình thứ hai và thứ ba để biểu diễn \( R \), \( L \), \( U \), và \( D \) theo \( k \), \( x \), và \( y \).
\[ \begin{cases} R = \frac{x + a}{2} \\ L = \frac{a - x}{2} \\ U = \frac{y + b}{2} \\ D = \frac{b - y}{2} \end{cases} \]
Trong đó, \( a \) và \( b \) là các biến phụ để biểu diễn các bước đi theo trục \( Ox \) và \( Oy \).
Tuy nhiên, để đơn giản, chúng ta có thể giải trực tiếp từ hệ phương trình ban đầu:
\[ R = \frac{k + x + y}{4}, \quad L = \frac{k - x + y}{4}, \quad U = \frac{k + y - x}{4}, \quad D = \frac{k - y - x}{4} \]
Lưu ý: Các giá trị \( R \), \( L \), \( U \), và \( D \) phải là số nguyên không âm và tổng của chúng phải bằng \( k \).
Xác suất để robot đi đúng \( R \) bước phải, \( L \) bước trái, \( U \) bước lên và \( D \) bước xuống được tính bằng công thức phân phối đa nhị thức:
\[ P = \frac{k!}{U! D! R! L!} \left( \frac{1}{4} \right)^{U} \left( \frac{1}{4} \right)^{D} \left( \frac{1}{4} \right)^{R} \left( \frac{1}{4} \right)^{L} = \frac{k!}{U! D! R! L!} \left( \frac{1}{4} \right)^{k} \]
Trong đó:
Kết Luận: Xác suất để sau đúng \( k \) bước đi, con robot có vị trí là điểm \( B(x, y) \) trên lưới \( m \times n \) ô vuông là:
\[ P = \frac{k!}{\left( \frac{k + x + y}{4} \right)! \left( \frac{k - x + y}{4} \right)! \left( \frac{k + y - x}{4} \right)! \left( \frac{k - y - x}{4} \right)!} \left( \frac{1}{4} \right)^{k} \]
Cho robot bước đi ngẫu nhiên trên trục số hoặc lưới \( m \times n \) ô vuông, mỗi bước đi một đơn vị, với xác suất bước sang các hướng khác nhau. Tính xác suất để sau \( k \) bước, robot ở vị trí cách gốc tọa độ \( (x, y) \) đơn vị trên trục \( Ox \) và \( Oy \).
Gọi:
Ta có:
\[ \begin{cases} U + D + R + L = k \\ R - L = x \\ U - D = y \end{cases} \implies U = \frac{k + y - x}{4}, \quad D = \frac{k - y - x}{4}, \quad R = \frac{k + x + y}{4}, \quad L = \frac{k - x + y}{4} \]
Điều kiện khả thi:
Xác suất để robot ở vị trí cách gốc tọa độ \( (x, y) \) sau \( k \) bước là:
\[ P = \frac{k!}{U! D! R! L!} p^{U} q^{D} r^{R} s^{L} \]
Trong đó:
Kết Luận: Xác suất để robot ở vị trí cách gốc tọa độ \( (x, y) \) sau \( k \) bước đi là:
\[ P = \frac{k!}{\left( \frac{k + y - x}{4} \right)! \left( \frac{k - y - x}{4} \right)! \left( \frac{k + x + y}{4} \right)! \left( \frac{k - x + y}{4} \right)!} \left( \frac{1}{4} \right)^{k} \]
Đề bài: Một con robot bắt đầu từ điểm \( O \) trên trục số. Nó bước đi ngẫu nhiên sang phải với xác suất \( p = 0.6 \) và sang trái với xác suất \( q = 0.4 \). Tính xác suất để sau 10 bước, robot ở vị trí cách \( O \) 2 đơn vị về bên phải.
\[ \begin{cases} R + L = 10 \\ R - L = 2 \end{cases} \implies R = 6, \quad L = 4 \]
Robot cần đi 6 bước về bên phải và 4 bước về bên trái. Xác suất xảy ra điều này được tính bằng:
\[ P = \binom{10}{6} (0.6)^6 (0.4)^4 \]
Tính cụ thể:
\[ \binom{10}{6} = \binom{10}{4} = \frac{10!}{6! \times 4!} = 210 \]
\[ P = 210 \times 0.046656 \times 0.0256 \approx 0.2508 \quad \text{hay} \quad 25.08\% \]
Kết Luận: Xác suất để robot ở vị trí cách \( O \) 2 đơn vị về bên phải sau 10 bước là khoảng 25.08%.
Đề bài: Một hạt di chuyển ngẫu nhiên trên trục số bắt đầu từ \( O \). Mỗi bước, hạt có xác suất \( p = \frac{1}{3} \) đi sang phải và \( q = \frac{2}{3} \) đi sang trái. Tính xác suất để sau 9 bước, hạt trở về vị trí \( O \).
\[ \begin{cases} R + L = 9 \\ R - L = 0 \end{cases} \]
Giải hệ phương trình, ta có:
\[ R = \frac{9 + 0}{2} = 4.5, \quad L = \frac{9 - 0}{2} = 4.5 \]
Điều kiện khả thi: \( R \) và \( L \) phải là số nguyên không âm. Tuy nhiên, \( R = L = 4.5 \) không phải là số nguyên.
Kết Luận: Xác suất để hạt trở về vị trí \( O \) sau 9 bước là 0%.
Đề bài: Trên lưới \( 4 \times 4 \) ô vuông, một con robot bắt đầu từ gốc tọa độ \( O \). Tại mỗi bước, robot có thể di chuyển lên, xuống, trái hoặc phải với xác suất bằng nhau. Tính xác suất để sau 8 bước, robot ở vị trí cách \( O \) 2 đơn vị về phía trên và 2 đơn vị về bên phải.
\[ \begin{cases} U + D + R + L = 8 \\ R - L = 2 \\ U - D = 2 \end{cases} \implies U = 3, \quad D = 1, \quad R = 3, \quad L = 1 \]
Robot cần đi 3 bước lên, 1 bước xuống, 3 bước phải và 1 bước trái. Xác suất xảy ra điều này được tính bằng công thức phân phối đa nhị thức:
\[ P = \frac{8!}{3! \times 1! \times 3! \times 1!} \left( \frac{1}{4} \right)^3 \left( \frac{1}{4} \right)^1 \left( \frac{1}{4} \right)^3 \left( \frac{1}{4} \right)^1 = \frac{40320}{6 \times 1 \times 6 \times 1} \times \left( \frac{1}{4} \right)^8 = 1120 \times \frac{1}{65536} \approx 0.0171 \quad \text{hay} \quad 1.71\% \]
Kết Luận: Xác suất để robot ở vị trí cách \( O \) 2 đơn vị về phía trên và 2 đơn vị về bên phải sau 8 bước là khoảng 1.71%.
Đề bài: Trên lưới \( 5 \times 5 \) ô vuông, một con robot bắt đầu từ gốc tọa độ \( O \). Tại mỗi bước, robot có thể di chuyển lên, xuống, trái hoặc phải với xác suất bằng nhau. Tính xác suất để sau 10 bước, robot ở vị trí cách \( O \) 1 đơn vị về phía trên và 3 đơn vị về bên trái.
\[ \begin{cases} U + D + R + L = 10 \\ R - L = -3 \\ U - D = 1 \end{cases} \implies U = 3, \quad D = 2, \quad R = 0, \quad L = 3 \]
Robot cần đi 3 bước lên, 2 bước xuống, 0 bước phải và 3 bước trái. Xác suất xảy ra điều này được tính bằng công thức phân phối đa nhị thức:
\[ P = \frac{10!}{3! \times 2! \times 0! \times 3!} \left( \frac{1}{4} \right)^3 \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{1}{4} \right)^0 \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{3628800}{6 \times 2 \times 1 \times 6} \times \left( \frac{1}{4} \right)^8 = 50400 \times \frac{1}{65536} \approx 0.769 \quad \text{hay} \quad 0.769\% \]
Kết Luận: Xác suất để robot ở vị trí cách \( O \) 1 đơn vị về phía trên và 3 đơn vị về bên trái sau 10 bước là khoảng 0.769%.