Mô hình đi bộ ngẫu nhiên mô tả quá trình một đối tượng (như robot) di chuyển trên trục số. Tại mỗi bước, đối tượng có thể di chuyển sang phải hoặc trái với xác suất xác định. Đây là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, tài chính, sinh học và khoa học máy tính.
Phân phối nhị thức mô tả số lần thành công trong một số lần thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có hai kết quả có thể xảy ra (thành công hoặc thất bại) với xác suất thành công là \( p \).
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]
Trong đó:
Trên trục tọa độ \( x'Ox \), một con robot đồ chơi có vị trí tại điểm \( O \). Robot bước đi ngẫu nhiên trên trục \( x'Ox \) về bên phải hoặc bên trái với xác suất bằng nhau, mỗi bước đi nó thực hiện được quãng đường là một đơn vị độ dài. Tính xác suất để sau đúng 18 bước đi con robot có vị trí là điểm \( B \) trên tia \( Ox \), điểm \( B \) cách gốc tọa độ 10 đơn vị độ dài.
Gọi:
Ta có:
\[ \begin{cases} R + L = 18 \\ R - L = 10 \end{cases} \]
Giải hệ phương trình trên để tìm giá trị của \( R \) và \( L \).
Tổng hợp hai phương trình:
\[ (R + L) + (R - L) = 18 + 10 \implies 2R = 28 \implies R = 14 \]
Thay giá trị \( R = 14 \) vào phương trình thứ nhất:
\[ L = 18 - R = 18 - 14 = 4 \]
Vậy, \( R = 14 \) và \( L = 4 \).
Robot cần đi 14 bước về bên phải và 4 bước về bên trái. Xác suất xảy ra điều này được tính bằng công thức tổ hợp nhân với xác suất của mỗi chuỗi sự kiện:
\[ P = \binom{18}{14} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{14} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4} = \binom{18}{14} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{18} \]
Trong đó:
Ta tính giá trị:
\[ \binom{18}{14} = \binom{18}{4} = \dfrac{18!}{4! \times 14!} = 3060 \]
\[ P = 3060 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{18} \approx 0.0117 \quad \text{hay} \quad 1.17\% \]
Kết Luận: Xác suất để sau đúng 18 bước đi, con robot có vị trí là điểm \( B \) là 1.17%.
Cho robot bước đi ngẫu nhiên trên trục số, mỗi bước đi một đơn vị, với xác suất bước sang phải là \( p \) và bước sang trái là \( q = 1 - p \). Tính xác suất để sau \( n \) bước, robot ở vị trí cách gốc tọa độ \( k \) đơn vị về bên phải (nếu \( k > 0 \)) hoặc về bên trái (nếu \( k < 0 \)).
Gọi:
Ta có:
\[ \begin{cases} R + L = n \\ R - L = k \end{cases} \implies R = \dfrac{n + k}{2}, \quad L = \dfrac{n - k}{2} \]
Điều kiện khả thi:
Xác suất để robot ở vị trí cách gốc tọa độ \( k \) sau \( n \) bước là:
\[ P = \binom{n}{R} p^{R} q^{L} = \binom{n}{\dfrac{n + k}{2}} p^{\dfrac{n + k}{2}} q^{\dfrac{n - k}{2}} \]
Trong đó:
Đề bài: Một con robot bắt đầu từ điểm \( O \) trên trục số. Nó bước đi ngẫu nhiên sang phải với xác suất \( p = 0.6 \) và sang trái với xác suất \( q = 0.4 \). Tính xác suất để sau 10 bước, robot ở vị trí cách \( O \) 2 đơn vị về bên phải.
\[ \begin{cases} R + L = 10 \\ R - L = 2 \end{cases} \implies R = 6, \quad L = 4 \]
Robot cần đi 6 bước về bên phải và 4 bước về bên trái. Xác suất xảy ra điều này được tính bằng:
\[ P = \binom{10}{6} (0.6)^6 (0.4)^4 \]
Tính cụ thể:
\[ \binom{10}{6} = \binom{10}{4} = \dfrac{10!}{6! \times 4!} = 210 \]
\[ P = 210 \times 0.046656 \times 0.0256 \approx 0.2508 \quad \text{hay} \quad 25.08\% \]
Kết Luận: Xác suất để robot ở vị trí cách \( O \) 2 đơn vị về bên phải sau 10 bước là khoảng 25.08%.
Đề bài: Một hạt di chuyển ngẫu nhiên trên trục số bắt đầu từ \( O \). Mỗi bước, hạt có xác suất \( p = \dfrac{1}{3} \) đi sang phải và \( q = \dfrac{2}{3} \) đi sang trái. Tính xác suất để sau 9 bước, hạt trở về vị trí \( O \).
\[ \begin{cases} R + L = 9 \\ R - L = 0 \end{cases} \]
Giải hệ phương trình, ta có:
\[ R = \dfrac{9 + 0}{2} = 4.5, \quad L = \dfrac{9 - 0}{2} = 4.5 \]
Điều kiện khả thi: \( R \) và \( L \) phải là số nguyên không âm. Tuy nhiên, \( R = L = 4.5 \) không phải là số nguyên.
Kết Luận: Xác suất để hạt trở về vị trí \( O \) sau 9 bước là 0%.
Đề bài: Một hạt phóng xạ di chuyển trên trục số, mỗi bước đi một đơn vị sang phải hoặc trái với xác suất bằng nhau. Tính xác suất để sau 12 bước, hạt ở vị trí cách \( O \) 4 đơn vị.
\[ \begin{cases} R + L = 12 \\ |R - L| = 4 \end{cases} \]
Có hai trường hợp:
Ta tính xác suất cho cả hai trường hợp:
\[ P = \binom{12}{8} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{12} + \binom{12}{4} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{12} = 495 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{12} + 495 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{12} = 990 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{12} \approx 0.241 \]
Kết Luận: Xác suất để hạt ở vị trí cách \( O \) 4 đơn vị sau 12 bước là khoảng 24.1%.