Phân Phối Nhị Thức - Học Tập Tương Tác

Phân phối nhị thức mô tả xác suất của số lần thành công trong một chuỗi các thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công hoặc thất bại.

Công thức phân phối nhị thức:

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} $$
  • n: Số lần thử (hoặc số đỉnh).
  • k: Số lần thành công mong muốn.
  • p: Xác suất thành công trong mỗi lần thử.
  • 1 - p: Xác suất thất bại trong mỗi lần thử.

Để tính xác suất để biến cố xảy ra đúng k lần trong n lần thử, ta sử dụng công thức phân phối nhị thức:

$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} $$

Các bước tính toán:

  1. Tính hệ số nhị thức: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \)
  2. Tính \( p^k \): Xác suất thành công lũy thừa k.
  3. Tính \( (1 - p)^{n - k} \): Xác suất thất bại lũy thừa (n - k).
  4. Nhân các giá trị trên lại với nhau để có xác suất cuối cùng.

Ví dụ 1: Y Tế

Đề bài: Một bác sĩ biết rằng tỉ lệ bệnh nhân mắc một loại bệnh cụ thể là 5%. Trong một nhóm 15 bệnh nhân, tính xác suất để có đúng 2 bệnh nhân mắc bệnh này.

Giải:

  • n = 15 (số lần thử)
  • k = 2 (số lần thành công mong muốn)
  • p = 0.05 (xác suất thành công trong mỗi lần thử)
$$ P(X = 2) = \binom{15}{2} (0.05)^2 (1 - 0.05)^{15 - 2} $$

Tính toán:

  • \\( \binom{15}{2} = 105 \\)
  • \\( 0.05^2 = 0.0025 \\)
  • \\( (1 - 0.05)^{13} \approx 0.4877 \\)

Vậy:

$$ P(X = 2) = 105 \times 0.0025 \times 0.4877 \approx 0.128 $$

Như vậy, xác suất để có đúng 2 bệnh nhân mắc bệnh là khoảng 12.8%.

Ví dụ 2: Kinh Doanh

Đề bài: Một công ty bán hàng biết rằng tỉ lệ khách hàng mua sản phẩm lại là 20%. Trong một nhóm 10 khách hàng, tính xác suất để có ít nhất 3 khách hàng mua lại sản phẩm.

Giải:

Để tính xác suất ít nhất 3 khách hàng mua lại, ta cần tính:

$$ P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] $$

Tính từng phần:

  • \\( P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.2)^0 (0.8)^{10} = 1 \times 1 \times 0.1074 = 0.1074 \\)
  • \\( P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.2)^1 (0.8)^9 = 10 \times 0.2 \times 0.1342 = 0.2684 \\)
  • \\( P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.2)^2 (0.8)^8 = 45 \times 0.04 \times 0.1678 = 0.3020 \\)

Tổng xác suất:

$$ P(X < 3) = 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 = 0.6778 $$

Vậy:

$$ P(X \geq 3) = 1 - 0.6778 = 0.3222 $$

Như vậy, xác suất để có ít nhất 3 khách hàng mua lại sản phẩm là khoảng 32.22%.

Ví dụ 3: Kỹ Thuật

Đề bài: Trong một dây chuyền sản xuất, tỉ lệ sản phẩm bị lỗi là 1%. Trong 200 sản phẩm kiểm tra, tính xác suất để có đúng 2 sản phẩm bị lỗi.

Giải:

  • n = 200 (số lần thử)
  • k = 2 (số lần thành công mong muốn)
  • p = 0.01 (xác suất thành công trong mỗi lần thử)
$$ P(X = 2) = \binom{200}{2} (0.01)^2 (1 - 0.01)^{198} $$

Tính toán:

  • \\( \binom{200}{2} = 19900 \\)
  • \\( 0.01^2 = 0.0001 \\)
  • \\( (1 - 0.01)^{198} \approx 0.1353 \\)

Vậy:

$$ P(X = 2) = 19900 \times 0.0001 \times 0.1353 \approx 0.269 $$

Như vậy, xác suất để có đúng 2 sản phẩm bị lỗi là khoảng 26.9%.